TRƯỜNG THCS-THPT MỸ THUẬN

TỔ TOÁN

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

u
yo

if

Yo
u

ca

n

w
i
w
an n
t

MÔN TOÁN

MỤC LỤC

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

MỤC LỤC
Chủ đề 1. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.
2.
3.
4.
5.

Chủ đề 2.

Chủ đề 3.

Chủ đề 4.
Chủ đề 5.

Chủ đề 6.
Chủ đề 7.

Chủ đề 8.

Tổ Toán

Sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Khảo sát đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lũy thừa - Mũ - Logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Phương trình mũ và phương trình logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Ứng dụng của tích phân trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Phép cộng, trừ, nhân, chia số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Khối đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Hình nón và hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Hệ tọa độ Oxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dãy số - Quy tắc đếm - Xác suất - Góc - Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Quy tắc đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Góc và Khoảng cách trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2
2
3
3
3
6
6
7
7
8
9
9
10
10
10
11
12
12
12
13
13
13
13
14
14
14
16
16
17
17
18
19
19
19
20
20

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 1. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

Chủ đề 1.

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ
1

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
○ Nếu f ' (x) > 0, ∀x ∈ K thì f(x) . . . . . . . . . . . . . . . trên K.

!

○ Nếu f ' (x) < 0, ∀x ∈ K thì f(x) . . . . . . . . . . . . . . . trên K.
○ Nếu f ' (x) = 0, ∀x ∈ K thì f(x) . . . . . . . . . . . . . . . trên K.

2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
−

Quy tắc

é

Bước 1. Tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bước 2. Tìm . . . . . . . . . . . . f ' (x). Tìm x để f ' (x) . . . . . . hoặc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bước 3. Lập bảng . . . . . . . . . . . . . . .
Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Các khái niệm
• Nếu f(x) đạt CĐ tại x0 thì ta gọi x0 là điểm CĐ của . . . . . . . . ., f (x0 ) là giá trị CĐ của . . . . . . . . ., còn điểm
M (x0 ; f (x0 )) là điểm CĐ của . . . . . . . . .. Ta gọi tương tự đối với cực tiểu.

!

• Các điểm CĐ và CT được gọi chung là . . . . . . . . . . . . . . ., giá trị CĐ và giá trị CT được gọi chung là
. . . . . . . . . của hàm số.
• Nếu f(x) xác định trên K và đạt cực trị tại x0 thì f ' (x0 ) = . . ..
y

Điểm cực đại A (x1 ; y1 ) của ...............

Giá trị cực đại của ...............

y1

Điểm cực tiểu của ...............

x2
x1

O

x

y2
Điểm cực đại của ...............
Giá trị cực tiểu của ...............

Điểm cực tiểu B (x2 ; y2 ) của ...............

2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

!

○ Nếu f ' (x0 ) > 0 khi x < x0 và f ' (x0 ) < 0 khi x > x0 thì x0 là một điểm . . . . . . . . . của hàm số f(x).
○ Nếu f ' (x0 ) < 0 khi x < x0 và f ' (x0 ) > 0 khi x > x0 thì x0 là một điểm . . . . . . . . . của hàm số f(x).

Tổ Toán

2

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 1. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

3 Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1

−

é

−

é

Bước 1. Tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bước 2. Tìm . . . . . . . . . . . . f ' (x). Tìm x để f ' (x) . . . . . . hoặc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bước 3. Lập bảng . . . . . . . . . . . . . . .
Bước 4. Kết luận về các điểm cực trị.
Quy tắc 2
Bước 1. Tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bước 2. Tìm . . . . . . . . . . . . f ' (x). Tìm x để f ' (x) . . . 0.
Bước 3. Tìm đạo hàm cấp . . . rồi tính các giá trị f '' (x).
Bước 4. Kết luận về các điểm cực trị.

3

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa

!

○ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu f(x) . . . M, ∀x ∈ D và ∃x0 ∈ D sao cho f (x0 ) . . . M.
Kí hiệu M = max f(x).
D

○ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu f(x) . . . m, ∀x ∈ D và ∃x0 ∈ D sao cho f (x0 ) . . . m.
Kí hiệu m = min f(x).
D

2 Cách tìm GTLN & GTNN của hàm số trên một đoạn
−

Quy tắc

é

Bước 1. Tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bước 2. Tìm . . . . . . . . . . . . f ' (x). Tìm x để f ' (x) . . . 0.
Bước 3. Tìm đạo hàm cấp . . . rồi tính các giá trị f '' (x).
Bước 4. Kết luận về các điểm cực trị.
ý:
Nếu f (x) không . . . . . . . . . trên [a; b] thì f (x) đạt GTLN và GTNN tại các đầu mút của [a; b].
! Lưu
'

4

ĐƯỜNG TIỆM CẬN

1 Tiệm cận ngang

!

2 Tiệm cận đứng

Đường thẳng y = y0 được gọi là tiệm cận
ngang của đồ thị hàm số y = f (x) nếu . . . . . .
trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
○ lim f(x) = . . .
x→+∞

!

○ lim f(x) = . . .
x→−∞

Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng
của đồ thị hàm số y = f (x) nếu . . . . . . trong
các điều kiện sau được thỏa mãn:
○ lim+ f(x) = . . . . . .

○ lim− f(x) = . . . . . .

○ lim+ f(x) = . . . . . .

○ lim− f(x) = . . . . . .

x→x0

x→x0

5

x→x0

x→x0

KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ̸= 0)
Tổ Toán

3

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 1. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN
b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0

b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0
y

y

3
O
x
O
−1
−1

1

x
y = x 3 + x 2 + 2x − 1

y = x 3 − 3x + 1

b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0

b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0

y

y

2
−1
O

y=−

2

x

x

O

x3
x2
+
+ 2x
3
2

y = 2 − x3

b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0

b2 − 3ac . . . 0 và a . . . 0

y

y

1
O

x

1

x

O
y=

x3
2
− x2 + x +
3
3

y = 1 − x − x3

2 Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ̸= 0)
a, b . . . . . . dấu và a . . . 0

a, b . . . . . . dấu và a . . . 0

y

y
√
− 2

O
x

√
O

2

−1

−3

−3

y = x 4 + 2x 2 − 3

Tổ Toán

x

y=

4

x4
− 2x 2 − 1
2

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 1. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

a, b . . . . . . dấu và a . . . 0

a, b . . . . . . dấu và a . . . 0

y
1

y
2
x

O

O 1
−1
1

y = −2x 4 − x 2 + 1

x

y = −x 4 + 2x 2 + 1

3 Hàm số y =

ax + b
(c ̸= 0, ad − bc ̸= 0)
cx + d

y' . . . 0

y' . . . 0
y

y

2
−1 O −1

y=

O

1

−1

x

2x − 1
x+1

y=

x

1

x+1
x−1

4 Sự tương giao của các đồ thị
sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C ) và hàm số y = g(x) có đồ thị (C ).
! Giả
Để tìm hoành độ giao điểm của (C ) và (C ), ta giải phương trình . . . . . . . . . . . .
1

1

Tổ Toán

2

2

5

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 2. Lũy thừa - Mũ - Logarit

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

Chủ đề 2.

LŨY THỪA - MŨ - LOGARIT
1

LŨY THỪA

1 Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n ∈ N∗ , a ∈ R.
Lũy thừa bậc n của a là . . . . . . . . . của . . . thừa số a.

an = |a · a · a{z· · · a · a}
n số a

Số a gọi là . . . . . . . . ., số n gọi là . . . . . . . . .
Chú ý: Với a ̸= 0 ta có
• a−n = . . . . . .

• a0 = . . .

2 Căn bậc n
Cho số b ∈ R và số n ∈ N∗ (n ≥ 2).
Nếu an = b thì a được gọi là . . . . . . . . . . . . . . . của b.
○ Với n lẻ: có . . . . . . . . . . . . . . . căn bậc n của b
○ Với n chẵn:

!

– Nếu b < 0 thì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Nếu b = 0 thì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Nếu b > 0 thì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√ √
• n a · n b = ......


m
√
n
a = ......
(
√
a
nếu n . . . . . .
n
• an =
|a| nếu n . . . . . .
•

√
n
a
• √
= ......
n
b

3 Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho a, b > 0 là những số thực; m, n là những số thực tùy ý.

!

• (ab)m = . . . . . .

• am · an = . . . . . .
am
• n = ......
a
• (am )n = . . . . . .

 a m
•

b

= ......

○ Với a > 1: am > an ⇔ m . . . n
○ Với a < 1: am > an ⇔ m . . . n

Tổ Toán

6

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 2. Lũy thừa - Mũ - Logarit

2

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

HÀM SỐ LŨY THỪA

1 Định nghĩa
số thực α.
! Cho
Hàm số y = . . . . . . được gọi là hàm số lũy thừa.
−

Tập xác định của hàm số lũy thừa

é

Tập xác định của hàm số lũy thừa x α tùy thuộc vào giá trị của . . .
○ Nếu α ∈ Z+ : tập xác định là . . . . . . . . .
○ Nếu α ∈ Z− : tập xác định là . . . . . . . . .
○ Nếu α ∈/ Z: tập xác định là . . . . . . . . .

2 Khảo sát hàm số lũy thừa
Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y = x α trên khoảng . . . . . . . . .
y = xα, α > 0

y = xα, α < 0

Sự biến thiên
Giới hạn đặc biệt
Tiệm cận
y

y
α>1
α=1

α<1
1
O

1
x

1

O

α<0
x

1

Đồ thị

3

LOGARIT

1 Định nghĩa
Cho hai số . . . . . . a, b với a . . . . . ..
Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . và kí hiệu là . . . . . ..

α = . . . . . . ⇔ aα = b
Số a gọi là . . . . . . . . ., số n gọi là . . . . . . . . .
Chú ý: Không có lôgarit của số . . . . . . và số 0.
−

Tính chất

Tổ Toán

• loga 1 = . . .

• aloga b = . . .

• loga a = . . .

• loga ab = . . .

7

é

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 2. Lũy thừa - Mũ - Logarit

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

2 Quy tắc tính lôgarit
Cho ba số . . . . . . a, b, c với a . . . . . .. Ta có
• loga (b · c) = . . . . . . . . . . . . . . .

!

• loga

b
= ...............
c

• loga bα = . . . . . . . . ., ∀α

• loga b =

logc . . .
(c ̸= 1)
logc . . .

• loga b =

1
(b ̸= 1)
......

• logaα b = . . . . . . loga b (α ̸= 0)

3 Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
−

Lôgarit thập phân

é

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số . . ..

é

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số . . .

log b = . . . . . .

4

−

Lôgarit tự nhiên

ln b = . . . . . .

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

1 Hàm số mũ
Cho số thực . . . . . . a ̸= . . ..
Hàm số y = . . . . . . được gọi là hàm số mũ cơ số . . ..
Cho số . . . . . . a ̸= . . . và hàm hợp u = u(x). Ta có:

!

• (ax )' = . . . . . . . . .

• (au )' = . . . . . . . . .

• (ex )' = . . . . . . . . .

• (eu )' = . . . . . . . . .
y = ax , a > 1

y = ax , 0 < a < 1

Sự biến thiên
Tiệm cận
a>1

y

y

a
1

1
a

O

1

x

a<1

O

1

x

Đồ thị

2 Hàm số lôgarit
Cho số thực . . . . . . a ̸= . . ..
Hàm số y = . . . . . . được gọi là hàm số lôgarit cơ số . . ..
Cho số . . . . . . a ̸= . . . và hàm hợp u = u(x). Ta có:

!

• (loga x)' = . . . . . . . . .
• (ln x)' = . . . . . . . . .

Tổ Toán

• (loga u)' = . . . . . . . . .

1
x ln a

• (ln u)' = . . . . . . . . .

1
x

8

1
x ln a

1
x ln a

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 2. Lũy thừa - Mũ - Logarit

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

y = loga x, a > 1

y = loga x, 0 < a < 1

Tập xác định
Sự biến thiên
Tiệm cận
y

a>1

y
1
O

1

a

x
1
O a1

x
a<1

Đồ thị

5

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Phương trình mũ

2 Phương trình lôgarit

Phương trình mũ cơ bản có dạng . . . . . . . . . (a > . . .,
a ̸= . . .).

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng . . . . . . . . . . . .
(a > . . ., a ̸= . . .).

b>0

loga x = b ⇔ x = . . . . . .

b≤0

6

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Bất phương trình mũ

2 Bất phương trình lôgarit

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng . . . . . . . . . hoặc
. . . . . . . . . hoặc . . . . . . . . . hoặc . . . . . . . . . (a > . . .,
a ̸= . . .).
ax > b

a>1

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng
. . . . . . . . . . . . hoặc . . . . . . . . . . . . hoặc . . . . . . . . . . . .
hoặc . . . . . . . . . . . . (a > . . ., a ̸= . . .).

0
loga x > b

b>0

a>1

0
Nghiệm

b≤0

Tổ Toán

9

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 3. Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

Chủ đề 3.

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG
1

NGUYÊN HÀM

1 Tính chất của nguyên hàm
Z
Tính chất 1.

!

f ' (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Z
k · f(x) dx = . . . . . . . . . . . . (k là hằng số)

Tính chất 2.
Z
Tính chất 3.

[f(x) ± g(x)] dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Z
Z
•
0 dx = . . . . . . . . . . . . . . .
•
ax dx = . . . . . . . . . . . . . . . (a > 0, a ̸= 1)
Z

Z
dx = . . . . . . . . . . . . . . .

•
Z

Z

n

x dx = . . . . . . . . . . . . . . . (n ̸= −1)

•

Z
•

sin x dx = . . . . . . . . . . . . . . .

•
Z

Z
•

cos x dx = . . . . . . . . . . . . . . .

•

1
dx = . . . . . . . . . . . . . . .
x

•

ex dx = . . . . . . . . . . . . . . .

•

1
dx = . . . . . . . . . . . . . . .
cos2 x
Z
1
dx = . . . . . . . . . . . . . . .
sin2 x

2 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Định lí
−
é
Z
Nếu
f(u) dx = F(u) + C và u = u(x) là hàm số
có đạo hàm liên tục thì
Z
f (u(x)) · u' (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hệ quả

−

é

Với u = ax + b (a ̸= 0) thì
Z
f (ax + b) dx = . . . . . . . . . . . . . . .

3 Phương pháp nguyên hàm từng phần
−

Định lí

é

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
Z
u(x) · v ' (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
Tổ Toán

TÍCH PHÂN
10

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 3. Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

1 Tính chất của tích phân
Zb
k · f(x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . (k là hằng số)

Tính chất 1.
a

! Tính chất 2.

Zb
[f(x) ± g(x)] dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

Zc

Zb
f(x) dx +

Tính chất 3.
a

f(x) dx = . . . . . . . . . . . . (a < c < b)
c

2 Phương pháp tính tích phân từng phần
−

Định lí

é

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
Zb

u(x) · v ' (x) dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

3

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

1 Hình phẳng giới hạn bởi một
2 Hình phẳng giới hạn bởi hai
đường cong và trục hoành
đường cong
Diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị của
hàm số y = f(x), trục . . . . . . . . . và hai đường thẳng
x = a, x = b được tính theo công thức

Diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị của
hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng
x = a, x = b được tính theo công thức

Zb
S=

Zb
. . . . . . dx

S=

a

. . . . . . . . . . . . . . . dx
a

3 Thể tích của vật thể
Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b).
Cắt V bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại diểm x ∈ [a; b] theo thiết diện có diện tích S(x).
Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b], khi đó vật thể V có thể
tích là

Zb
V=

. . . . . . . . . . . . dx
a

4 Thể tích khối tròn xoay
Quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh
trục . . . . . . tạo thành một khối . . . . . . . . . . . . có thể tích là

Zb
V = ...

. . . . . . . . . dx
a

Tổ Toán

11

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 4. Số phức

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

Chủ đề 4.

SỐ PHỨC
1

SỐ PHỨC

1 Định nghĩa
Mỗi biểu thức dạng . . . . . . . . . trong đó a, b ∈ . . . và i2 = . . . được gọi là một số phức.
• Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là . . . . . . . . . . . ., b là . . . . . . . . . . . . của z.
• Số i được gọi là . . . . . . . . . . . .
• Tập hợp các số phức kí hiệu là . . . . . . (The set of Complex numbers).

!

• Mỗi số thực a đều là một số phức với phần ảo
bằng . . .

• Số phức bi có phần thực bằng . . . được gọi là số
.........

2 Số phức bằng nhau
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu . . . . . . . . . . . . và . . . . . . . . . . . . của chúng tương ứng bằng nhau.

(
a1 = . . .
a1 + b1 i = a2 + b2 i ⇔
b1 = . . .

3 Biểu diễn hình học của số phức
Điểm M(. . . ; . . .) trong hệ trục tọa độ Oxy được gọi là điểm . . . . . . . . . . . . của số phức z = a + bi.

4 Môđun của số phức
Cho số phức z = a + bi có điểm biểu diễn là M(a; b).
−−Ï
. . . . . . . . . của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z, kí hiệu là . . . . . .

|z| = . . . . . . . . .

5 Số phức liên hợp
Cho số phức z = a + bi. Ta gọi . . . . . . . . . là số phức liên hợp của z, kí hiệu là . . ..

2

PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC
Cho hai số phức z1 = a1 + b1 i và z2 = a2 + b2 i, khi đó:

Tổ Toán

• z1 + z2 = . . . . . . . . . . . . . . .

• (a + bi)(c + di) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• z1 − z2 = . . . . . . . . . . . . . . .

•

12

z1
z1 · z2
=
= .....................
z2
z2 · z2

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 5. Khối đa diện

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

Chủ đề 5.

KHỐI ĐA DIỆN
1

!

KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các . . . . . . . . . thỏa mãn hai tính chất sau:
• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có . . . . . . chung, hoặc chỉ có một . . . . . . chung, hoặc chỉ
có một . . . . . . chung.
• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng . . . . . . đa giác.
Khối đa diện là phần . . . . . . . . . . . . được giới hạn bởi một . . . . . . đa diện, kể cả . . . . . . đa diện đó.

2

!

KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Khối đa diện đều là khối đa diện . . . . . . có các tính chất sau đây:
• Mỗi mặt của nó là một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p cạnh
• Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại . . . . . ..

Tứ diện đều

Lập phương

Bát diện đều

Thập nhị diện đều

Nhị thập diện đều

• . . . . . . đỉnh
• . . . . . . cạnh
• . . . . . . mặt

• . . . . . . đỉnh
• . . . . . . cạnh
• . . . . . . mặt

• . . . . . . đỉnh
• . . . . . . cạnh
• . . . . . . mặt

• . . . . . . đỉnh
• . . . . . . cạnh
• . . . . . . mặt

• . . . . . . đỉnh
• . . . . . . cạnh
• . . . . . . mặt

3

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Thể tích khối chóp

−

é

−

Thể tích khối lăng trụ

é

Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao
h là

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều
cao h là

V = .........

V = .........
• Thể tích khối hộp chữ nhật: ..................
• Thể tích khối lập phương: ..................

Tổ Toán

13

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 6. Khối tròn xoay

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

Chủ đề 6.

KHỐI TRÒN XOAY
1

HÌNH NÓN VÀ HÌNH TRỤ

1 Hình nón tròn xoay

2 Hình trụ tròn xoay

Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay △OIM
quanh cạnh OI thì đường . . . . . . . . . OIM tạo thành
một . . . . . . được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là
............

!

• Hình tròn tâm I, bán kính IM gọi là . . . . . . . . .

!

• Điểm O gọi là . . . . . . của hình nón

• r là . . . . . . . . . của mặt trụ đó.

Cho hình nón có chiều cao h, độ dài đường sinh ℓ và
bán kính đáy r. Khi đó:

2

!

Diện tích toàn phần

• Đường thẳng . . . . . . gọi là trục
• Đường thẳng . . . . . . gọi là đường sinh

• Đoạn OI gọi là . . . . . . . . ., đoạn OM là độ dài
............

Diện tích xung
quanh

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ℓ và ∆
. . . . . . . . . . . . với nhau, cách nhau một khoảng r. Khi
quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng ℓ
sinh ra một mặt . . . . . . . . . được gọi là mặt . . . . . . tròn
xoay, gọi tắt là . . . . . . . . . . . .

Cho hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r. Khi đó:
Diện tích xung
quanh

Thể tích

Diện tích toàn phần

Thể tích

HÌNH CẦU
Tập hợp những điểm M trong . . . . . . . . . . . . cách điểm O cố định một khoảng . . . . . . . . . . . . bằng r > 0
được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r. Kí hiệu: . . . . . . . . .
• Nếu hai điểm C, D ∈ S (S; r) thì đoạn thẳng CD gọi là . . . . . . . . . . . ..
• Dây cung đi qua tâm được gọi là . . . . . . . . . . . . của mặt cầu.

Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu

−

é

−

é

Cho mặt cầu S (O; r) và điểm M bất kì.
• Nếu OM = r thì M nằm . . . . . . mặt cầu S (O; r)
• Nếu OM < r thì M nằm . . . . . . mặt cầu S (O; r)
• Nếu OM > r thì M nằm . . . . . . mặt cầu S (O; r)
Giao của mặt cầu và mặt phẳng

−

é

Giao của mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S (O; r) và mặt phẳng (P). Gọi H
là hình chiếu vuông góc của O lên (P), khi đó
OH = d (O, (P)).

Cho mặt cầu S (O; r) và đường thẳng ∆. Gọi H
là hình chiếu vuông góc của O lên ∆, khi đó
OH = d (O, ∆).

○ Nếu OH > r thì (P) và (S) . . . . . . . . . điểm chung.

○ Nếu OH > r thì ∆ và (S) . . . . . . . . . điểm chung.

○ Nếu OH = r thì (P) . . . . . . . . . với (S) tại . . ..
Khi đó, (P) gọi là . . . . . . . . . . . ., H gọi là
............

○ Nếu OH = r thì ∆ . . . . . . . . . với (S) tại . . ..
Khi đó, ∆ gọi là . . . . . . . . . . . ., H gọi là
............

○ Nếu OH < r thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là
. . . . . . . . . . . . tâm . . ., bán kính r ' = . . . . . . . . ..

○ Nếu OH < r thì ∆ cắt (S) tại . . . điểm.

Tổ Toán

14

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 6. Khối tròn xoay

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN
−

Tiếp tuyến

é

• Qua một điểm M nằm trên mặt cầu, có . . . . . . tiếp tuyến với mặt cầu. Các tiếp tuyến này tạo thành một
. . . . . . . . . . . . của mặt cầu.
• Qua một điểm M nằm ngoài mặt cầu, có . . . . . . tiếp tuyến với mặt cầu. Các tiếp tuyến này tạo thành một
. . . . . . . . . đỉnh A.
• Nếu OM > r thì M nằm . . . . . . mặt cầu S (O; r)
Diện tích

Tổ Toán

Thể tích

15

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

Chủ đề 7.

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN
1

HỆ TỌA ĐỘ OXYZ

1 Tọa độ điểm và vectơ
Trong không gian, hệ trục tọa độ Oxyz bao gồm . . . trục Ox, Oy, Oz đôi một . . . . . . . . . . . .
Ï
− Ï
− Ï
−
• Các vectơ i , j , k lần lượt là các vectơ . . . . . . . . .
trên các trục Ox, Oy, Oz.
• Điểm O(. . . ; . . . ; . . .) được gọi là . . . . . . . . . . . . . . .

• Các mặt phẳng . . . . . ., . . . . . ., . . . . . . được gọi là các
mặt phẳng tọa độ.
−−Ï
• Điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) nếu OM = . . . . . . . . . . . . . . .

2 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
−

Các công thức cần nhớ

é

Ï
−
−
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ Ï
a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ). Ta có:
Ï
−
Ï
−
Ï
−
• i = . . . . . . . . ., j = . . . . . . . . ., k = . . . . . . . . .
Ï
−
Ï
−
Ï
−
−
−
k·Ï
a = ..................
• Với vectơ b ̸= 0 thì Ï
a và b cùng phương khi và

chỉ khi ∃k ∈ R sao cho a1 = . . . . . ., a2 = . . . . . .,

a 1 = . . .
a3 = . . . . . .
Ï
−
Ï
−
a = b ⇔ a2 = . . .

−Ï

• AB = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a3 = . . .
x + x . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
B
Trung điểm của đoạn thẳng AB là M
;
;
...
2
...
x + x + x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
B
C
Trọng tâm của tam giác ABC là G
;
;
...
3
...

Ï
−
−
• Ï
a ± b = .....................
•

•

•
•

3 Tích vô hướng
Ï
−
−
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ Ï
a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ) bằng

Ï
−
Ï
−
a · b = .....................

Độ dài của một vectơ
−
Cho vectơ Ï
a = (a1 ; a2 ; a3 ). Khi đó
Ï
 q
−
a  = a12 + . . . . . . . . .

−

é

−

Góc giữa hai vectơ

é

Ï
−
−
Góc giữa hai vectơ Ï
a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b =
(b1 ; b2 ; b3 ) được tính bởi công thức
Ï
−
Ï
−
 Ï
−
a ... b
−
Ï

cos Ï
a, b =  
−  = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−
Ï
a ...b 

4 Tích có hướng
Ï
−
Ï
−
−
−
Trong không gian, cho hai vectơ Ï
a = (a1 ; a2 ; a3 ) và b = (b1 ; b2 ; b3 ). Tích có hướng của hai vectơ Ï
a và b là một
Ï
−
−
. . . . . . . . . . . . . . . . . . với cả Ï
a và b .

h Ï
−i
Ï
−
a , b = (. . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . .)

Tổ Toán

16

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian

2

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
−

Định lí

é

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là
(x − . . .)2 + (y . . . . . .)2 + (z . . . . . .)2 = . . . . . .
Nhận xét: Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng
trong đó R =

3

√

x 2 + y 2 + z2 − . . . . . . x − . . . . . . y − . . . . . . z + d = 0
a2 + b2 + c2 − . . . (a2 + b2 + c2 − . . . > . . .)

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
−
é
Ï
−
−
−
Cho mặt phẳng (α). Nếu vectơ Ï
n ̸= 0 và có . . . . . . vuông góc với mặt phẳng (α) thì Ï
n được gọi là vectơ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . của (α).
Định nghĩa

• Mỗi mặt phẳng có . . . . . . . . . vectơ pháp tuyến.
−
−
• Nếu Ï
n là vectơ pháp tuyến của (α) thì k · Ï
n cũng là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . của (α).

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
−
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ pháp tuyến Ï
n = (a; b; c). Khi
đó

a (x − . . .) + . . . (y . . . y0 ) + c (. . . − z0 ) = . . .
−

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

é

Nếu mặt phẳng (α) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) thì
(α) :

x
y
z
+ + = ...
a b c

3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (β) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
(
(
(A1 ; B1 ; C1 ) . . . k (A2 ; B2 ; C2 )
(A1 ; B1 ; C1 ) . . . k (A2 ; B2 ; C2 )
• (α) ∥ (β) ⇔
• (α) ≡ (β) ⇔
D1 . . . kD2
D1 . . . kD2

!

• (α) ⊥ (β) ⇔ . . . . . . . . . . . .

4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 được
tính bằng
A... + B... + C ... + D
√
d (M, (α)) =
. . .2 + . . .2 + . . .2

5 Góc giữa hai mặt phẳng
−
−
Giả sử Ï
m, Ï
n lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (α) , (β). Khi đó
Ï

−
−
m·Ï
n
 − 
cos ((α) , (β)) = Ï
−
m  · Ï
n

Tổ Toán

17

Trường THCS-THPT Mỹ Thuận

Chủ đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian

4

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
−

Định nghĩa

é

−
Trong ...