G 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Chương
ƯƠ
CH N

5

BÀI
A

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

01

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1 Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( ) . Vectơ n  0 và có giá vuông góc với mặt phẳng

( )

gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) .

Nhận xét:
•

Nếu n là một vectơ pháp tuyến của ( ) thì k .n ( k  0 ) cũng là một vectơ pháp tuyến của ( ) .

•

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( ) . Nếu hai vectơ a và b không cùng phương
và giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì a , b là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng

( ) .
Nhận xét: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và cặp vectơ chỉ phương của nó.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương : Trong không gian Oxyz , nếu mặt
phẳng ( ) nhận hai vectơ a = ( a1; a2 ; a3 ) và b = ( b1; b2 ; b3 ) . làm cặp vectơ chỉ phương thì ( ) nhận

n =  a , b  làm vectơ pháp tuyến.

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

1

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Chú ý: Vectơ n = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) được gọi là tích có hướng của hai vectơ a = ( a1; a2 ; a3 )
và b = ( b1; b2 ; b3 ) . Tích có hướng của hai vectơ a và b được kí hiệu là  a , b  .
•
•
•

a a a a a a 
 a , b  =  2 3 ; 3 1 ; 1 2  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .
 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 

a cùng phương với b   a , b  = 0 .
Nếu n =  a , b  thì vectơ n vuông góc với cả hai vectơ a và b .

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Định nghĩa: Trong không gian Oxyz , phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A , B , C
không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét: Cho mặt phẳng ( ) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó:
•

Mặt phẳng ( ) có một vec-tơ pháp tuyến là n = ( A; B; C )

•

Điểm N ( x0 ; y0 ; z0 )  ( )  Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

•

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A , B , C không đồng thời bằng 0) đều là phương
trình của một mặt phẳng xác định.

Một số dạng toán viết phương trình mặt phẳng cơ bản:
Dạng 1: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một vectơ pháp tuyến
n = ( A; B; C ) là:

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0  Ax + By + Cz + D = 0 với D = − Ax0 − By0 − Cz0 .

Dạng 2: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có một cặp vectơ chỉ phương

2

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có cặp vectơ chỉ phương

a , b thì ta thực hiện như sau:
Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến n =  a , b  .
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ pháp tuyến n .
Dạng 3: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm A , B , C không thẳng hàng thì ta thực
hiện như sau:
Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương chẳng hạn AB , AC .
Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến n =  AB, AC  .
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và có vectơ pháp tuyến n .
Dạng 3: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) là:
x y z
+ + =1.
a b c

3 Điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc vuông góc
Điều kiện để hai mặt phẳng song song: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có
phương trình lần lượt là

(1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

và ( 2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 có vectơ pháp

n1 = kn2
tuyến lần lượt là n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) , n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) . Khi đó: (1 )∥ ( 2 )  
(k 
 D1  kD2
GV. Phan Nhật Linh -

).

SĐT: 0817 098 716

3

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chú ý: Ta có một số tính chất sau:
n1 = kn2
• (1 )  ( 2 )  
(k 
 D1 = kD2
•

( 1 )

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

).

cắt ( 2 )  n1 và n2 không cùng phương.

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có
phương trình lần lượt là

(1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

và ( 2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 có vectơ pháp

tuyến lần lượt là n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) , n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) .
Khi đó: (1 ) ⊥ ( 2 )  n1.n2 = 0  A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .

4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) .
Khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng ( ) được tính theo công thức:

d ( M 0 , ( ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

.

5 Các phương trình mặt phẳng đặc biệt trong không gian
Tính chất mặt phẳng

Phương trình

Hệ số đặc biệt

( )

đi qua/chứa gốc O

( ) : Ax + By + Cz = 0

D=0

( )

song song/chứa Ox

( ) : By + Cz + D = 0

A=0

( )

song song/chứa Oy

( ) : Ax + Cz + D = 0

B=0

( )

song song/chứa Oz

( ) : Ax + By + D = 0

C =0

( )

song song/trùng ( Oxy )

( ) : Cz + D = 0

A= B=0

( )

song song/trùng ( Oxz )

( ) : By + D = 0

A=C =0

( )

song song/trùng ( Oyz )

( ) : Ax + D = 0

B=C =0

Nhận xét: Mặt phẳng không chứa ẩn nào thì mặt phẳng sẽ song song/chứa trục đó hoặc mặt phẳng không
chứa ẩn nào thì mặt phẳng sẽ song song/chứa mặt phẳng đó.

4

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

B

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng
Phương pháp: Ta thường gặp các dạng toán sau:
Dạng 1: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một vectơ pháp tuyến
n = ( A; B; C ) là:

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0  Ax + By + Cz + D = 0 với D = − Ax0 − By0 − Cz0 .

Dạng 2: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có một cặp vectơ chỉ phương

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có cặp vectơ chỉ phương

a , b thì ta thực hiện như sau:
Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến n =  a , b  .
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ pháp tuyến n
.
Dạng 3: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm A , B , C không thẳng hàng thì ta
thực hiện như sau:
Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương chẳng hạn AB , AC .
GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

5

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến n =  AB, AC  .
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và có vectơ pháp tuyến n .
Dạng 3: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) là:
x y z
+ + =1.
a b c
Ngoài các dạng toán lập phương trình mặt phẳng cơ bản đã nêu. Chúng ta có thể gặp thêm một số dạng
toán nâng cao hơn được trình bày ở các bài tập dưới đây.

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài tập 1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( P ) đi qua
điểm M ( 2;1; −3) có véctơ pháp tuyến là n = ( 3; − 2;6 ) .
Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( P ) đi
qua điểm M ( 2; − 1;0 ) và có cặp véctơ chỉ phương là a = ( 2;1;3) , b = (1;1;2 ) .
Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M (1;2; −1) và vuông
góc với trục Ox .
Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABC D có A (1; −1;3) , B ( 0;2;4 )

D ( 2; −1;1) , A ( 0;1;2 ) .
a) Tính tọa độ các điểm C , B, D .
b) Viết phương trình mặt phẳng ( CBD ) .
Bài tập 5: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M (1; −1;5 ) và vuông
góc với hai mặt phẳng ( Q ) : 3x + 2 y − z = 0 , ( R ) : x + y − z = 0 .
Bài tập 6: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua M ( 2;3; − 1) , song song với trục

Ox và vuông góc với mặt phẳng ( Q ) : x + 2 y − 3z + 1 = 0 .

6

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Bài tập 7: Lập phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua:
a) Điểm I ( 3; −4;1) và vuông góc với trục Ox
b) Điểm K ( −2;4; −1) và song song với mặt phẳng ( ozx )
c) Điểm K ( −2;4; −1) và song song với mặt phẳng ( Q ) : 3x + 7 y + 10 z + 1 = 0
Bài tập 8: Lập phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm A (1;1;1) ; B ( 0;4;0 ) ; C ( 2;2;0 ) .
Bài tập 9: Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn của mặt phẳng ( P ) , biết rằng mặt phẳng ( P ) đi
qua ba điểm A ( 5;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0;6 ) .
Bài tập 10: Trong không gian Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa điểm M (1;3; − 2 ) cắt các tia
OA OB OC
=
=
.
1
2
4
Bài tập 11: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 4;0;1) và B ( −2;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng

Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao cho

trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài tập 12: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −3;2;1) và B ( 5; − 4;1) . Gọi M là hình chiếu vuông
góc của A trên ( Oxy ) , và N là điểm đối xứng với B qua ( Oyz ) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực

( P)

của đoạn thẳng MN .

Bài tập 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD biết A (1;2;1) , B ( 3;0;0 ) ,

C (1; −1; −2 ) , D ( −1;1; −1) . Giả sử I ( a; b; c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và G là trọng
tâm ABC . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của GI .
Bài tập 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) đi qua giao tuyến của hai mặt
phẳng (1 ) : 3x − y + z − 2 = 0, ( 2 ) : x + 4 y − 5 = 0 và song song với mặt phẳng ( 3 ) : 2 x + 21y − z + 7 = 0
. Viết phương trình của mặt phẳng P .
Bài tập 15: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y + z − 5 = 0 . Viết phương trình
mặt phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( P ) , cách ( P ) một khoảng bằng 3 và cắt trục Ox tại điểm có
hoành độ dương.
Bài tập 16: Trong không gian Oxyz ,cho hai mặt phẳng ( ) : 3x − 2 y + 2 z + 7 = 0, (  ) : 5 x − 4 y + 3z + 1 = 0
Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả ( ) và (  ) .
Bài tập 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua hai điểm

A ( 0;1;0 ) , B ( 2;3;1) và vuông góc với mặt phẳng ( Q ) : x + 2 y − z = 0 .
Bài tập 18: Hình vẽ dưới đây minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị
trên mỗi trục tọa độ là mét). Biết A ( 50;0;0 ) , D ( 0;20;0 ) , B ( 4k ;3k ;2k ) với k  0 và mặt phẳng ( BCFE )
có phương trình là z = 3 .
a) Tìm tọa độ điểm B .

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

7

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

b) Lập phương trình mặt phẳng ( AOBC ) .
c) Lập phương trình mặt phẳng ( DOBE ) .
d) Chỉ ra một véc tơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng

( AOBC ) và ( DOBE ) .

Bài tập 19: Hình dưới đây minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị
trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là
các điểm A ( 2;1;3) , B ( 4;3;3) , C ( 6;3;2,5 ) , D ( 4;0;2,8 ) .
a) Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) .
b) Bốn điểm A, B, C , D có đồng phẳng không?

Bài tập 20: Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz . Hãy kiểm tra tính song
song hoặc vuông góc giữa các mặt kính ( P ) , ( Q ) , ( R ) (hình bên) của một tòa nhà biết các mặt phẳng có
phương trình lần lượt là: ( P ) : 3x + y − z + 2 = 0 ; ( Q ) : 6 x + 2 y − 2 z + 11 = 0 ; ( R ) : x − 3 y + 1 = 0 .

Bài tập 21: Bác An dự định làm bốn mái nhà của một ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình
chóp tứ giác đều và các mái kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng đó có làm được không?

8

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Bài tập 22: Trong không gian Oxyz , một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy và trần nhà tầng 1
thuộc mặt phẳng z − 1 = 0 , mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng x + y + 50 z − 100 = 0 . Hỏi trong 3 mặt phẳng
tương ứng chứa sàn nhà, trần nhà tầng 1, mái nhà tầng 2, hai mặt nào song song với nhau?
Bài tập 23: Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz , với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tại cối xay
lúa (Ở vị trí P ) một lực F thì moment lực M được tính bởi công thức M = OP; F  như hình minh họa.
Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực F có giá song song
với AB . Giải thích vì sao giá của vecto moment lực M có phương thẳng đứng?

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

9

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.

Câu 1:

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 1 = 0 . Điểm nào sau đây thuộc mặt
phẳng ( P ) ?
A. A (1;1;3) .

Câu 2:

C. C ( 3;1;1) .

D. D ( −1; −1;3) .

Trong không gian Oxyz , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng ( Oxy ) ?
A. A (1;1;0 ) .

Câu 3:

B. B (1;1; −3) .

B. B (1;0; −3) .

C. C ( 0;1;1) .

D. D ( 0;0;3) .

Trong không gian với hệ tọa độ ( Oxyz ) . Mặt phẳng ( ) biết ( ) đi qua điểm M ( −1;5;2 ) đồng
thời ( ) có cặp vetơ chỉ phương u = ( 0;1;1) và v = ( −3; −5;1) có phương trình là

Câu 4:

A. y + z − 7 = 0 .

B. 2 x − y + z + 5 = 0 .

C. − x + 5 y + 2 z + 5 = 0 .

D. 2 x + y + z − 5 = 0 .

Trong không gian với hệ tọa độ ( Oxyz ) ,cho ba điểm A ( 0;2;1) , B ( 3;0;1) , C (1;0;0 ) . Phương
trình mặt phẳng ( ABC ) là

Câu 5:

A. 2 x − 3 y − 4 z + 2 = 0 .

B. 4 x + 6 y − 8 z + 2 = 0 .

C. 2 x + 3 y − 4 z − 2 = 0 .

D. 2 x − 3 y − 4 z − 2 = 0 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A ( 2; −3; −2 ) và song song với
mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình là
A. z + 2 = 0 .

Câu 6:

B. z − 2 = 0 .

C. 2 x − 3 y = 0 .

D. 2 x − 3 y − 2 = 0 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A ( 2; −3; −2 ) và song song với
mặt phẳng ( Oxz ) có phương trình là
A. x + z = 0 .

Câu 7:

B. y + 3 = 0 .

C. y − 3 = 0 .

D. x − z = 0 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A ( 2; −3; −2 ) và song song với
mặt phẳng ( Oyz ) có phương trình là
A. 3 y − 2 z = 0 .

Câu 8:

B. x + 2 = 0 .

C. x − 2 = 0 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm A ( 2; −3; −2 ) và song song với
mặt phẳng ( ) : 2 x − y + 3z − 3 = 0 có phương trình là

10

D. 3 y + 2 z = 0 .

A. 2 x − y + 3z = 0 .

B. 2 x − y + 3z − 1 = 0 .

C. 2 x − 3 y − 2 z = 0 .

D. 2 x − 3 y − 2 z − 1 = 0 .

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Câu 9:

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1;0;1) , C ( 3;1;1) , D ( 4;1;1) B ( −1;2;2 ) .
Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và song song với CD .
A. y − 2 z + 2 = 0 .

C. x − y + 2 z + 2 = 0 . D. x − 2 y + 2 = 0 .

B. x − 2 z + 2 = 0 .

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1;2;− 1) ; B ( −1;0;1) và mặt phẳng

( P ) : x + 2 y − z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua A, B và vuông góc với ( P ) .
A. ( Q ) :2 x − y + 3 = 0 . B. ( Q ) :x + z = 0 .
C. ( Q ) :− x + y + z = 0 . D. ( Q ) :3x − y + z = 0 .
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : 3x − 2 y + 2 z + 7 = 0 và

(  ) : 5x − 4 y + 3z + 1 = 0 . Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O
cả ( ) và (  ) là
A. 2 x − y − 2 z = 0.

B. x + y + z + 3 = 0 .

C. −2 x + z + 6 = 0 .

đồng thời vuông góc với
D. −2 x + z − 6 = 0 .

Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2;3;5 ) . Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và chứa
trục Ox
A. ( ) : 5 y + 3z = 0 .

C. 3 y − 5 z = 0 .

B. 3 y + 5 z = 0 .

D. ( ) : 5 y − 3z = 0 .

Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;1;2 ) . Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và
chứa trục Oy
A. ( ) : 2 x − 3z = 0 .

C. 3x − 2 z = 0 .

B. 3x + 2 z = 0 .

D. ( ) : 2 x + 3z = 0 .

Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2;4; −5 ) . Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và
chứa trục Oz
A. ( ) : x − 2 y = 0 .

B. x + 2 y = 0 .

C. 2 x − y = 0 .

D. ( ) : 2 x + y = 0 .

Câu 15: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 và

( Q ) cách điểm

M (1; −2;1) một khoảng bằng 3 có phương trình là

A. x + 2 y − 2 z + 10 = 0; x + 2 y − 2 z − 1 = 0 .

B. x + 2 y − 2 z = 0; x + 2 y − 2 z − 14 = 0 .

C. x + 2 y − 2 z − 14 = 0; x + 2 y − 2 z − 4 = 0 .

D. x + 2 y − 2 z + 4 = 0; x + 2 y − 2 z − 14 = 0 .

Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho điểm B (1; − 1;0 ) , C ( 2; − 1; −1) , M ( −2;1;3) . Mặt phẳng ( P )
vuông góc với BC và cách M một khoảng bằng 2 có phương trình là
A. x − z − 7 = 0 ; x − z − 3 = 0 .
B. x − z + 7 = 0 ; x − z − 3 = 0 .
C. x − z + 7 = 0 ; x − z + 3 = 0 .
D. x − z − 7 = 0 ; x − z + 3 = 0 .
Câu 17: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( ) qua hai điểm C ( 2;1;6 ) , D ( 3;5;1) và cách đều hai
điểm A ( 6;4;0 ) , B ( 4;5;0 ) có phương trình là:
A. 13x + 18 y + 15 z + 134 = 0 ; 5 x + 10 y + 9 z − 7 = 0 .
B. 13x + 18 y + 15 z = 0 ; 5 x + 10 y + 9 z − 4 = 0 .
C. 5 x + 10 y + 9 z − 74 = 0 ; 13x + 18 y + 15 z − 134 = 0 .
D. 13x + 18 y + 15 z − 13 = 0 ; 5 x + 10 y + 9 z + 4 = 0

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

11

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 ) khác 0 . Tích có hướng của

a và b là c . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. c = ( a1b3 − a2b1 , a2b3 − a3b2 , a3b1 − a1b3 ) .

B. c = ( a2b3 − a3b2 , a3b1 − a1b3 , a1b2 − a2b1 ) .

C. c = ( a3b1 − a1b3 , a1b2 − a2b1 , a2b3 − a3b1 ) .

D. c = ( a1b3 − a3b1 , a2b2 − a1b2 , a3b2 − a2b3 ) .

Câu 19: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây nhận n = ( 3;1; −7 ) là một vectơ pháp tuyến?
A. 3x + z + 7 = 0 .

B. 3x − y − 7 z + 1 = 0 . C. 3x + y − 7 = 0 .

D. 3x + y − 7 z − 3 = 0 .

Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x − 2 z + 2 = 0 đi qua điểm nào sau đây?
A. B ( 4;2;1) .

B. A (1;2;4 ) .

D. C ( 2;4; − 1) .

C. D ( 2;1;4 ) .

Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1;2;3) . Mặt phẳng chứa điểm A và trục Oz có phương
trình là
A. 2 x − y = 0 .

B. x + y − z = 0 .

D. 3x − z = 0 vô số.

C. 3 y − 2 z = 0 .

Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2; −1; −3) và mặt phẳng ( P ) : 3x − 2 y + 4 z − 5 = 0 . Gọi

( Q ) là mặt phẳng đi qua

A và song song với mặt phẳng ( P ) . Mặt phẳng ( Q ) có phương trình

là:
A. 3x − 2 y + 4 z − 4 = 0

B. 3x − 2 y + 4 z + 4 = 0 .

C. 3x − 2 y + 4 z + 5 = 0 .

D. 3x + 2 y + 4 z + 8 = 0 .

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 4;0;1) và B ( −2;2;3) . Phương trình nào
dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ?
A. 3x + y + z − 6 = 0 .
B. 6 x − 2 y − 2 z − 1 = 0 .
D. 3x − y − z = 0 .

C. 3x − y − z + 1 = 0 .

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm

A (1;1;1) và hai mặt phẳng

( P ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0 , ( Q ) : y = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( R )
cả hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .
A. 3x − y + 2 z − 4 = 0 .

B. 3x + y − 2 z − 2 = 0 . C. 3x − 2 z = 0 .

chứa A , vuông góc với
D. 3x − 2 z − 1 = 0 .

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm A ( 2;3;5 ) , B ( 3; 2; 4 ) và
C ( 4;1; 2 ) có phương trình là

A. 3x − y + 2 z − 4 = 0 .

B. x + y − 5 = 0 .

C. y − z + 2 = 0 .

D. 2 x + y − 7 = 0 .

Câu 26: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( P) : 2 x + y + z − 2 = 0 song song với mặt phẳng nào dưới
đây?
A. x +

1
1
y − z − 1 = 0 . B. x − y − z − 2 = 0 .C. 4 x + 2 y + 2 z + 4 = 0 .
2
2

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,

cho mặt phẳng

D. 2 x + y + z − 2 = 0 .

( P)

có phương trình:

mx + (m − 1) y + z − 10 = 0 và mặt phẳng (Q) : 2 x + y − 2 z + 3 = 0 . Với giá trị nào của dưới đây
của m thì ( P ) và ( Q ) vuông góc với nhau

12

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. m = −2 .

B. m = 2 .

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

D. m = −1 .

C. m = 1 .

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2;1; −2 ) và vectơ b = (1;0;2 ) . Tìm
tọa độ vectơ c là tích có hướng của a và b .
A. c = ( 2;6; −1) .

B. c = ( 4;6; −1) .

C. c = ( 4; −6; −1) .

D. c = ( 2; −6; −1)

Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 3 y + z + 2 = 0 . Véctơ nào dưới đây là một
véctơ pháp tuyến của ( P ) ?
A. n2 ( 2;3;1) .

B. n3 ( 2;3; 2 ) .

C. n1 ( 2;3;0 ) .

D. n4 ( 2;0;3) .

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + z − 5 = 0. Điểm nào dưới đây
thuộc ( P ) ?
A. P ( 0;0; −5 ) .

B. M (1;1;6 ) .

D. N ( −5;0;0 ) .

C. Q ( 2; −1;5 ) .

Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1;2;0 ) và B ( 3;0;2 ) . Mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng AB có phương trình là
A. x + y + z − 3 = 0 .
B. 2 x − y + z + 2 = 0 . C. 2 x + y + z − 4 = 0 . D. 2 x − y + z − 2 = 0 .
Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi
qua điểm M (1;2; −3) và có một vectơ pháp tuyến n = (1; −2;3) .
A. x − 2 y + 3z + 12 = 0 .

B. x − 2 y − 3z − 6 = 0 .

C. x − 2 y + 3z − 12 = 0 .

D. x − 2 y − 3z + 6 = 0 .

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 5; −4;2 ) và B (1;2;3) . Viết phương trình
của mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB .
A. 2 x − 3 y − z − 20 = 0 .

B. 3x − y + 3z − 25 = 0 .

C. 2 x − 3 y − z + 8 = 0 .

D. 3x − y + 3z − 13 = 0 .

Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −1;1;1) , B ( 2;1;0 ) C (1; −1;2 ) . Mặt phẳng đi qua A và
vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là
A. 3 x + 2 z + 1 = 0 .
B. x + 2 y − 2 z + 1 = 0 . C. x + 2 y − 2 z − 1 = 0 . D. 3 x + 2 z − 1 = 0 .
Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2; − 1;4 ) và mặt phẳng ( P ) :3x − 2 y + z + 1 = 0 . Phương
trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ( P ) là
A. 2 x − 2 y + 4 z − 21 = 0 .

B. 3x − 2 y + z − 12 = 0 .

C. 2 x − 2 y + 4 z + 21 = 0 .

D. 3x − 2 y + z + 12 = 0

Câu 36: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua 3 điểm M ( −2;0;0 ) , N ( 0; − 1;0 )
và P ( 0;0;3) là
A. 3x + 6 y − 2 z − 6 = 0 .

B. 2 x + y − 3z − 1 = 0 .

C. 3x + 6 y − 2 z = 0 .

D. 3x + 6 y − 2 z + 6 = 0 .

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

13

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Câu 37: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua 3 điểm A ( −1;1;3) , B ( 2; − 1;3) ,
C ( 2;2; − 1) là.

A. 8 x + 12 y + 9 z − 31 = 0 .

B. 8 x + 12 y + 9 z + 31 = 0 .

C. 8 x − 12 y + 9 z − 31 = 0 .

D. 8 x + 12 y − 9 z + 31 = 0 .

Câu 38: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua hai điểm A ( 2; − 1;0 ) , B (1;1;2 ) và
vuông góc với mặt phẳng ( Q ) : x + y + 2 z − 3 = 0 là.
A. 2 x + 4 y − 3z − 8 = 0 .

B. 2 x + 4 y − 3z = 0 .

C. 2 x + 4 y − 3z + 8 = 0 .

D. 2 x − 4 y − 3z = 0 .

Câu 39: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M ( 2;1; − 2 ) và vuông góc
với hai mặt phẳng ( Q ) : x + y + 2 z − 3 = 0 và ( R ) : x − y − z + 4 = 0 là.
A. x + 3 y − 2 z + 9 = 0 . B. 2 x + y − 2 z − 9 = 0 . C. x + 3 y − 2 z − 9 = 0 . D. 2 x + y − 2 z + 9 = 0 .
Câu 40: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm N ( 2;1; − 2 ) , song song với
trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ( Q ) : x − 2 y + z − 8 = 0 là
B. x − z + 4 = 0 .

A. x − z − 4 = 0 .

C. 2 x + y − 2 z − 4 = 0 . D. 2 x + y − 2 z + 4 = 0 .

Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1;0;1) và B ( 2;1;0 ) . Phương trình mặt phẳng ( P ) đi
qua A và vuông góc với AB là
A. ( P ) : 3x + y − z + 4 = 0 .

B. ( P ) : 3x + y − z − 4 = 0 .

C. ( P ) : 3x + y − z = 0 .

D. ( P ) : 2x + y − z + 1 = 0 .

Câu 42: Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A(0;1;3) và song song với
mặt phẳng ( Q ) : 2 x − 3z + 2025 = 0 là
A. ( P ) : 2 x − 3z + 9 = 0 .

B. ( P ) : 2 x − 3z − 9 = 0 .

C. ( P ) : 2 x − 3z + 3 = 0 .

D. ( P ) : 2 x − 3z − 3 = 0 .

Câu 43: Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng ( P ) đi qua điểm B ( 2;1; − 3) , đồng thời
vuông góc với hai mặt phẳng ( Q ) : x + y + 3z − 5 = 0 , ( R ) : 2 x − y + z − 1 = 0 là
A. 4 x + 5 y − 3z + 22 = 0 .

B. 4 x − 5 y − 3z − 12 = 0 .

C. 2 x + y − 3z − 14 = 0 .

D. 4 x + 5 y − 3z − 22 = 0 .

Câu 44: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm M (1; −1;1) , N ( 2;1;2 ) và song song với trục
Oz có phương trình là

A. x + 2 y + z = 0 .
Câu 45: Trong không gian

B. 2 x − y − 3 = 0 .

C. x + 2 y + z − 6 = 0 . D. 2 x − y + 5 = 0 .

Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) :2 x − y + 2 z + 11 = 0

và hai điểm

A (1;0; −2 ) , B ( −1; − 1;3) . Mặt phẳng ( Q ) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng ( P )

14

có phương trình là
A. 3x + 14 y + 4 z + 5 = 0 .

B. 2 x − y + 2 z − 2 = 0 .

C. 2 x − y + 2 z + 2 = 0 .

D. 3x + 14 y + 4 z − 5 = 0 .

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.

Câu 1:

Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1;2;5 ) và mặt phẳng ( ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0 . Xét tính
đúng sai của các khẳng định sau:
a) Véc tơ n = (1;2;2 ) là một vectơ pháp tuyến của ( ) .
b) Phương trình mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng ( ) có phương trình

x + 2 y + 2 z + 15 = 0
c) Phương trình mặt phẳng (  ) đi qua hai điểm O và A đồng thời vuông góc với mặt phẳng

( )

có phương trình 2 x − y = 0 .

2 4
d) Điểm M  ( ) sao cho A, O, M thẳng hàng thì tọa độ M  ; ;2  .
5 5 

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A (1;2; − 2 ) ; B ( 2;1;2 ) ; C ( 3; −2;1) . Xét
tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm A, B, C có một vectơ pháp tuyến là n =  AB, AC 
b) Phương trình mặt phẳng ( P ) là 13x + 5 y − 2 z + 27 = 0 .
c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A (1;2; − 2 ) và nhận BC làm véc tơ pháp tuyến có dạng:
1( x + 1) x − 3 ( y + 2 ) − 1( z − 2 ) = 0 .

d) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên
trục Ox; Oy; Oz có phương trình
Câu 3:

x y z
+ − = 1.
1 2 2

Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A (1;2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;1) và D ( 0;3;1) . Xét tính
đúng sai của các khẳng định sau:
a) Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là 3x + y + 5 z − 10 = 0 .
b) Bốn điểm A, B, C , D tạo thành tứ diện.
c) Mặt phẳng ( P ) chứa AB và song song với CD có một vectơ pháp tuyến là a = ( 4; −2;7 ) .
d) Có 2 mặt phẳng đi qua 2 điểm A, B sao cho khoảng cách từ C và D đến mặt phẳng đó bằng
nhau và 2 mặt phẳng này đều đi qua điểm M (1;2;1) .

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0;2;0 ) , C ( 0;0;3) . Xét tính đúng sai của các khẳng
định sau:
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) là n = ( 3;3;2 ) .
b) Mặt phẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là x − y = 0.
c) Mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với ( ABC ) có phương trình là:
GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

15

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

x + y − 3z + 2 = 0. .
d) Gọi M ( a; b; c )  ( Oyz ) sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất thì khi đó 3 ( a + b ) + c = 5.
Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : ( 4 − a ) x − ( a + 3) y + z + 1 = 0
và mặt phẳng ( Q ) : 3x − 4 y + z + 3 = 0 . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng ( Q ) song song với nhau khi a = 1 .
b) Mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng ( Q ) vuông góc với nhau khi a = 2 .
c) Không có giá trị nào của a để hai mặt phẳng trên trùng nhau.
d) Mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng trên có vectơ pháp tuyến là n = (1; −1; −7 ) .

Câu 6:

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( 3;5; − 1) , B ( 7; x;1) , C ( 9;2; y ) , D ( −1;2;3) . Xét tính
đúng sai của các khẳng định sau:
a) Toạ độ điểm M trung điểm của đoạn AD là (1;7;1) .
b) Toạ độ điểm E để tứ giác OADE là hình bình hành là ( −4; −3;4 ) .
c) Toạ độ điểm C để tam giác ACD vuông tại A là ( 9;2;11) .
d) Để ba điểm A , B , C thẳng hàng thì giá trị của biểu thức x + y bằng 5 .

Câu 7:

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A (1; −1;1) , B ( 2;1; −2 ) , C ( 0;0;1) . Xét tính đúng
sai của các khẳng định sau:
a) Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là (1;0;0 ) .
b) Toạ độ điểm E  Ox sao cho AE ⊥ BC là ( −1;0;0 ) .
c) Toạ độ điểm M thoả mãn AM = AB − AC là ( 3;0;2 ) .
5 4 8
d) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC có toạ độ là  ; − ;  .
9 9 9

Câu 8:

Trong không gian Oxyz với ba vecto đơn vị i, j , k , cho A (1;1;2 ) , B ( 2; − 1;0 ) , u = (1; − 2; − 1) .
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tích có hướng của hai veccto i và j là vecto k .
b) u, i  = ( 0;1;2 ) .
c)  AB, u  = ( 6;1;0 ) .
d) OA, OB  = ( 2;4; −3) .

Câu 9:

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −1;1;0 ) , B (1; − 1;2 ) , C (1; − 2;1) . Xét tính đúng sai của
các khẳng định sau:

16

GV. Phan Nhật Linh -

SĐT: 0817 098 716

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

a) Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) là  AB, AC  .
b) Vecto n = (1;2;3) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) .
c) Vecto u = (1;1;0 ) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng đi qua O và chứa đưởng thẳng AB .
d) Vecto v = (1;2;3) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng song song với hai đưởng thẳng AB
và OC .
Câu 10: Cho các điểm A (1; −2;0 ) ; B ( 2; −1;1) ; C (1;1;2 ) . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Phương trình mặt phẳng ( AB...