CHỦ ĐỀ ÔN TẬP TỐT NGHIỆP

Thpt Quốc Gia
2024 - 2025

MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1.

PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Phần Lý thuyết trọng tâm .................................................................................................. 3
Phần Ví dụ ............................................................................................................................ 5
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ..........................................5
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ..........................................................................6
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn .....................................................................8
Phần Tự Luyện ..................................................................................................................... 9
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ..........................................9
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................16
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ...................................................................21

CHỦ ĐỀ 2.

CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN
Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 26
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 26
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................26
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................27
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ...................................................................28
Phần Tự luyện .................................................................................................................... 30
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................30
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................34
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ...................................................................37

CHỦ ĐỀ 3.

ĐẠO HÀM & KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 40
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 43
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................43
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................44
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ...................................................................45
Phần Tự luyện .................................................................................................................... 46
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................46
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................54
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ...................................................................62

CHỦ ĐỀ 4.

NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN
Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 65
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 67
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................67
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................68
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ...................................................................70
Phần Tự luyện .................................................................................................................... 71
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................71
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................77
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ...................................................................80

CHỦ ĐỀ 5.

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Trang 1

Phần Lý thuyết trọng tâm ................................................................................................ 84
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 87
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................87
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................88
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ...................................................................89
Phần Ví dụ .......................................................................................................................... 90
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ........................................90
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ........................................................................94
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn .................................................................102

CHỦ ĐỀ 6.

HÌNH HỌC Oxyz
Phần Lý thuyết trọng tâm .............................................................................................. 106
Phần Ví dụ ........................................................................................................................ 110
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ......................................110
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ......................................................................110
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn .................................................................111
Phần Tự luyện .................................................................................................................. 112
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ......................................112
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ......................................................................116
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn .................................................................121

CHỦ ĐỀ 7.

THỐNG KÊ
Phần Lý thuyết trọng tâm .............................................................................................. 127
Phần Ví dụ ........................................................................................................................ 130
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ......................................130
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ......................................................................130
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn .................................................................133
Phần Tự luyện .................................................................................................................. 134
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ......................................134
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ......................................................................136
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn .................................................................139

CHỦ ĐỀ 8.

XÁC SUẤT
Phần Lý thuyết trọng tâm .............................................................................................. 141
Phần Ví dụ ........................................................................................................................ 143
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ......................................143
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ......................................................................146
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn .................................................................150
Phần Tự Luyện ................................................................................................................. 151
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn ......................................151
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai ......................................................................152
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn .................................................................154

Trang 2

CHỦ ĐỀ 1:

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Phần Lý thuyết trọng tâm
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản
a) Phương trình sin x  m 1


Với m  1 , phương trình 1 vô nghiệm.



là số thực thuộc đoạn   ;  sao cho sin x  m .
 2 2
x   k2
Khi đó, ta có: sin x  m  sin x  sin  
k  .
x    k2
Chú ý
- Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình sin x  m :



Với m  1 , gọi



sin x  1  x 



sin x  1  x  



sin x  0  x  k

2

 k2

2

k  ;

k  ;

 k2

 k  .

- Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
sin x  sin a như sau:
 x  a  k360
sin x  sin a  
k   .
x

180


a


k
360


b) Phương trình cos x  m  2


Với m  1 , phương trình  2  vô nghiệm.

là số thực thuộc đoạn 0;  sao cho cos x  m .
x   k2
Khi đó, ta có: cos x  m  cos x  cos  
k  .
x    k2
Chú ý
- Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cos x  m :
 cos x  1  x  k 2  k   ;


Với m  1 , gọi



cos x  1  x   k 2

k  ;

 k  k  .
2
- Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
cos x  cos a như sau:
 x  a  k360
cos x  cos a  
k   .
 x  a  k360


cos x  0  x 

c) Phương trình tan x  m
Gọi



là số thực thuộc khoảng   ;  sao cho tan x  m . Khi đó, ta có:
 2 2

Trang 3

tan x  m  tan x  tan  x   k

k   .

Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
tan x  tan a như sau:
tan x  tan a  x  a  k180  k   .
d) Phương trình cot x  m
Gọi là số thực thuộc khoảng  0;

 sao cho cot x  m

. Khi đó, ta có:

cot x  m  cot x  cot  x   k

k   .

Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
cot x  cot a như sau:
cot x  cot a  x  a  k180  k   .
2. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản
 f  x  g  x  k2
 sin f  x   sin g  x   
k  .
 f  x    g  x   k 2
 f  x  g  x  k2
 cos f  x   cos g  x   
 k  .
 f  x    g  x   k 2
 Với phương trình có dạng:
2
sin u  x   sin2 v  x  , cos2 u  x   cos2 v  x  , sin 2 u  x   cos2 v  x  , Ta có thể dùng công thức hạ
bậc để đưa về phương trình dạng cos f  x   cos g  x  .
Với một số phương trình lượng giác, ta có thể dùng các công thức lượng giác và các biến đổi để
đưa về phương trình dạng tích A  x  .B  x   0 .
II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
1. Phương trình mũ
Với a  0, a  1 thì:


f x
a    b  f  x   log a b với b  0 ;



f x
g x
a    a    f  x  g x .

2. Phương trình lôgarit
Với a  0, a  1 thì:


log a f  x   b  f  x   ab .


 f  x  g  x
log a f  x   log a g  x   
.
f
x

0

g
x
>
0






3. Bất phương trình mũ
Với a  0, a  1 thì:



a) Xét bất phương trình: a    b .
 Nếu b  0 , tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của f  x  ;
f x




Nếu b  0, a  1 thì bất phương trình đưa về: f  x   log a b ;

Nếu b  0, 0  a  1 thì bất phương trình đưa về: f  x   log a b .

f x
g x
b) Xét bất phương trình: a    a   .

Trang 4




Nếu a  1 thì bất phương trình đưa về: f  x   g  x  ;

Nếu 0  a  1 thì bất phương trình đưa về: f  x   g  x  .

Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự.
4. Bất phương trình lôgarit
Với a  0, a  1 thì:
a) Xét bất phương trình: log a f  x   b .



Nếu a  1 thì bất phương trình đưa về: f  x   ab ;

Nếu 0  a  1 thì bất phương trình đưa về: 0  f  x   ab .

b) Xét bất phương trình: log a f  x   log a g  x  .



Nếu a  1 thì bất phương trình đưa về: f  x   g  x   0 ;

Nếu 0  a  1 thì bất phương trình đưa về: 0  f  x   g  x  .

Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự.

Phần Ví dụ
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn



3
Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình sin  x    
là:
3
2

2
A. x  
 k 2 và x   k 2  k   .
3
B. x  

 k 2 và x   k 2
3
3
C. x  k2 và x   k 2  k 
D. x  

2

 2k và x 

5
 k2
3

k  
.

k   .
Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn

Chọn A


2
 x  3   3  2k
x
 k2


3
sin  x    


3

3
2

 x   4  2k
 x   2 k

3
3

k  

Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình 3x  2 x  81 là:
A. 4 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 2 .
Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn
Chọn D
2

3x

2

2 x

 81  3x

2

2 x

 34  x2  2x  4  0 .

b
Phương trình có hai nghiệm trái dấu vì ac  0 . Khi đó tổng hai nghiệm là   2 .
a
1
Ví dụ 3. Nghiệm của phương trình log16  x  5  là:
2
A. 3 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 27 .
Trang 5

Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn
Chọn B
1
1
 x  5  16 2  4  x  1 .
2
Ví dụ 4. Số nghiệm của phương trình log 2  x  4   log 2 x 2  5x  4 là:

log16  x  5  



A. 1 .

B. 2 .



C. 0 .

D. 3 .

Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn
Chọn C

x  4  0
log 2  x  4   log 2 x2  5x  4   2

 x  5x  4  x  4
x  4

(vô nghiệm)
x

2
;
x

4

Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai









Ví dụ 5. Cho phương trình sin 2  2 x    cos 2  x   .
4
2




1  cos  4x  
2  1  cos  2x 

a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình:

2
2
b) Ta có: cos  2x     cos 2x.

..



c) Phương trình đã cho đưa về dạng: cos  4 x    cos 2 x. .
2


d) Nghiệm của phương trình đã cho là: x  

4

k

và x 

12

k

3

k  

Lời giải
GVSB: Hà Hoàng; GVPB: Minh Nguyễn


1  cos  4x  
2  1  cos  2x  

a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình:
..

2
2




Hạ bậc hai vế của phương trình sin 2  2 x    cos 2  x   ta được
4
2




1  cos  4x  
2  1  cos  2x 


2
2
Chọn ĐÚNG.

b) Ta có: cos  2x 

cos  2x 



1  cos  4x  

2  1  cos  2x 


2
2

   cos 2x.

   cos 2x. (đúng)

Chọn ĐÚNG.


c) Phương trình đã cho đưa về dạng: cos  4 x    cos 2 x. .
2


Trang 6





Phương trình đã cho tương đương với cos  4x     cos  2x 
2

Chọn ĐÚNG.

d) Nghiệm của phương trình đã cho là: x  
Nghiệm của phương trình đã cho là


x   4  k
 4x  2  2x  k 2


k 
x    k
 4 x   2 x  2 k


12
3
2
Chọn SAI.



Ví dụ 6. [MĐ2] Cho bất phương trình 3  2 2



a) Ta có: 3  2 2  3  2 2





4

k

và x 

12

k

  cos 2x

3

k  



x2  4 x



 3 2 2



5 2 x

.

1

.

b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: x2  4x  2x  5 .
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5 .
d) Tổng nghiệm nguyên của bất phương trình là 9 .
Lời giải



a) Ta có: 3  2 2  3  2 2







1

.



 

Ta có: 3  2 2 3  2 2  32  2 2  1  3  2 2 

1
3 2 2



 32 2



1

.

Chọn ĐÚNG.
b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: x2  4x  2x  5 .



Ta có: 3  2 2



x2  4 x



 3 2 2



5 2 x



 32 2



x2  4 x





5 2 x





5 2 x

 32 2

 x2  4x  2x  5

(Vì 0  3  2 2  1 ).
Chọn SAI.
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5 .



Ta có: 3  2 2



x2  4 x



 3 2 2



5 2 x



 32 2



x2  4 x

 32 2

 x2  4x  2x  5

 x2  6x  5  0  1  x  5 .
Suy ra nghiệm nguyên của bất phương trình là: 2; 3; 4
Chọn SAI.
d) Tổng nghiệm nguyên của bất phương trình là 9 .
Tổng nghiệm nguyên của bất phương trình là: 2  3  4  9 .
Chọn ĐÚNG.
Ví dụ 7. [MĐ2] Cho bất phương trình Cho bất phương trình: log 2 1  2 x 2  2   log
a) Ta có: 0  2  1  1 .
2

 2 x  2  5x  5
b) Bất phương trình đã cho tương đương với: 
.
5
x

5

0


c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 2 .
d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 0 .

Trang 7

2 1

 5x  5  .

Lời giải
GVSB: Lê Ngọc; GVPB: Minh Nguyễn
a) Ta có: 0  2  1  1 .
2 1  0, 42  0  2 1  1 .
Chọn ĐÚNG.
2

 2 x  2  5x  5
b) Bất phương trình đã cho tương đương với: 
.

5x  5  0
2

 2 x  2  5x  5
2
(Vì 0  2  1  1 )
log 2 1 2x  2  log 2 1  5x  5    2

2x  2  0
Chọn SAI.
c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 2 .
Ta có:
 2 x 2  5x  7  0
2 x 2  5x  7  0
2



 2 x  2  5x  5
log 2 1 2x 2  2  log 2 1  5x  5    2
   x  1
   x  1

 x  1
 x  1
2x  2  0












7
1  x  2
7


1 x 
 x  1
2

  x  1
Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình là 2; 3 .
Chọn ĐÚNG.
d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 0 .
Ta có: nghiệm nguyên của bất phương trình là 2; 3 .
Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 2 .
Chọn SAI.
Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Ví dụ 8. [MĐ2] Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu
h  m  theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức:


h  16  7 sin  t  với 0  t  24 . Tính thời điểm mà mực nước tại cảng là cao nhất.
 12 
Lời giải
GVSB: Lê Ngọc; GVPB: Minh Nguyễn
Trả lời: 6


Ta có: h  16  7 sin  t 
 12 






Vì 1  sin  t   1  7  7 sin  t   7  9  16  7 sin  t   23  9  h  23
 12 
 12 
 12 


Nên max h  23  sin  t   1  t   k 2  t  6  24 k .
12
2
 12 

Vì 0  t  24 nên thời điểm mà mực nước tại cảng là cao nhất là 6 (giờ).

Trang 8

Ví dụ 9. [MĐ2] Công thức Định luật làm mát của Newton được cho như sau: kt  ln

T S
T0  S

trong đó t là số giờ trôi qua, T0 là nhiệt độ lúc đầu, T là nhiệt độ sau t giờ, S là nhiệt
độ môi trường ( T0 , T , S theo cùng một đơn vị đo), k là hằng số. Một cốc trà có nhiệt độ

960 C , sau 2 phút nhiệt độ giảm còn 900 C . Biết nhiệt độ phòng là 240 C . Tính nhiệt độ
của cốc trà sau 10 phút (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
GVSB: Lê Ngọc; GVPB: Minh Nguyễn
Trả lời: 70,6
Gọi T1 là nhiệt độ sau t1 giờ
Gọi T2 là nhiệt độ sau t2 giờ

1
(h)
30
1
90  24
1
11
11
Khi đó: k.  ln
 k.  ln  k  30 ln
30
96  24
30
12
12
1
Nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút ( t2  10(p)  (h) ) là:
6
5
5
T2  24
T2  24
T  24

 11 
 11 
11  1
 ln    ln
   2
 30 ln  .  ln
12  6
96  24
96  24

 12 
 12  96  24
Ta có: T0  960 C, T1  900 C, S  240 C, t1  2(p) 

 115.  96  24   125 T2  24   T2  24  46, 6  T2  70, 6

Phần Tự Luyện
Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1.



Các nghiệm của phương trình sin   x   0 là
5


A. x  
C. x  

5
5

k
 k2

k   .

B. x 

k   .

D. x 

2
k
5
5

k

k   .
k  .

Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn D


Ta có: sin   x   0   x  k  x   k
5
5
5


Câu 2.

k   .

Các nghiệm của phương trình 2 sin 3x  2  0 là
2
3
2
A. x   k
và x 
k
k   .
12
3
12
3
2
5
2
B. x    k
và x 
k
k   .
12
3
12
3
2
2
C. x   k
và x    k
k   .
12
3
12
3
2
3
2
D. x    k
và x 
k
k   .
12
3
12
3
Lời giải
Trang 9

GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn B

Câu 3.


2
x k

2
12
3 k
 sin 3x  sin   
Ta có: 2 sin 3x  2  0  sin 3x  

2
4
x  5  k 2

12
3

 1
Các nghiệm cùa phương trình cos  x    là
6 2


A. x 

6

B. x  

 k 2 và x  

6

C. x  k2
D. x 

6

 k2

và x 

và x  

k

3

2

2

 k2

k   .

 k2

k   .

 k2

và x  

2

k

.

k   .

k   .
Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn

Chọn A

Câu 4.


x  6  k2

 1


Ta có: cos  x     cos  x    cos  
6 2
6
3


x    k2

2
2
Các nghiệm của phương trình sin 2x  1 là

A. x 
C. x 

4
2

k
k

2

k  .

B. x  k

k  .

D. x 

2

8

k   .

k  .

k

2

k   .

Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn A
Ta có: sin2 2x  1  cos 2x  0  x 
Câu 5.

2

k x

4



k
2

k   .



Các nghiệm của phương trình tan  x    3 là
3

2
 k2  k   .
A. x 
B. x  k  k   .
3
2
2
C. x 
 k  k   . D. x  
 k k   .
3
3
Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn C


2
 k k   .
Ta có: tan  x    3  x    k  x 
3
3 3
3


Trang 10

Câu 6.



Các nghiệm của phương trình cot  3x    1 là
4


A. x  
C. x  

6

6

k

k

6

k   .

B. x 

k  .

D. x 

6

6

k

k   .

3

k

k   .

2

Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn B


Ta có: cot  3x    1  3x     k  x    k
4
4
4
6
3


k  

 k k   .
6
3
Các nghiệm cùa phương trình sin x  3 cos x  0 là
Hay x 

Câu 7.

A. x  
C. x 

6

6

k

k

k   .

B. x 

k  .

3

D. x  

k  .

k

3

k

k   .

Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn D
Ta có: sin x  3 cos x  0 



1
3
sin x 
cos x  0  sin  x    0
2
2
3


 k  x    k k   .
3
3
Cách khác:
Do cos x  0 không thoả mãn phương trình nên ta có:
 x

sin x  3 cos x  0  tan x   3  x  
Câu 8.

3

k

k  .

Các góc lượng giác x sao cho cos  x  15   

1
là
2
A. x  165  k 360 và x  135  k 360  k   .
B. x  165  k 180 và x  135  k 180  k 

C. x  135  k 360 và x  105  k 360  k 
D. x  135  k 180 và x  105  k 180  k 

.
.
.

Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn C
Ta có: cos  x  15   
Câu 9.

 x  15  120  k360
 x  135  k360
1


k 
2
 x  15  120  k360
 x  105  k360

Các góc lượng giác x sao cho tan  2x  27  tan 35 là
A. x  4  k180  k 

.

B. x  4  k180  k 
Trang 11

.



C. x  4  k90  k 

.

D. x  4  k90  k 

.

Lời giải
GVSB: Phúc Hoàng; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn D
Ta có: tan 2 x  27  tan 35  2 x  27  35  k180  x  4  k90  k 





.

Câu 10. Các góc lượng giác x sao cho sin 2x  sin  36  x  là
A. x  12  k120 và x  144  k360  k 
B. x  12  k120 và x  48  k120  k 

.

.
C. x  12  k360 và x  144  k120  k   .
D. x  36  k360 và x  144  k360  k   .
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A

 2x  36  x  k360
 x  12  k120

sin 2x  sin  36  x   
k   .
 2x  180   36  x   k360
 x  144  k360
 3 9 
Câu 11. Số nghiệm của phương trình cos x  1 trên khoảng   ;  là
 4 2 
A. 1 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 3 .
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn D
cos x  1  x  k 2  k   .
 3 9 
3
9
3
9
Vì x    ;  nên 
 k2 
 k .
4
2
8
4
 4 2 
Do k  nên k 0 ;1; 2 .
 3
Vậy phương trình cos x  1 có 3 nghiệm trên khoảng  
 4
 5
1
Câu 12. Số nghiệm của phương trình sin x 
trên khoảng  
3
 2

A. 2 .

B. 5 .


.

5 
;
 là
2 
D. 3 .
;

9
2

C. 4 .
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn

Chọn B

 x  35, 26  k.360

 k; l   .
3
 x  144, 74  l.360
 5
35, 26
5


.  k .2 

 5 5 
2
180
2  1, 3  k  1, 2 .
Vì x    ;

 nên  5
144 , 74
5
 2 2 

 1, 7  l  0 , 8

.  l.2 
 2
180
2
sin x 

1

Trang 12

nên k 1; 0;1 ; l 1; 0 .

Do k ; l 

 5 5 
có 5 nghiệm trên khoảng   ;
.
3
 2 2 
Câu 13. Các nghiệm của phương trình cos2 x  sin2 x  0 là

Vậy phương trình sin x 

A. x 
C. x 

4
2

 k.
k

2

1

k   .

B. x 

k   .

4

D. x  

k
4

k   .

k

k  .

Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A

cos2 x  sin 2 x  0  cos 2x  0  2x 

k x

2
4


Câu 14. Nghiệm của phương trình cos  2 x    cos 6 x là
2

2
A. x  
 k 2  k   và x   k 2  k   .
3
 k 2  k   và x   k 2
3
3
C. x  k 2  k   và x   k 2  k 
B. x  

D. x  

8

k

2



k
k 
2

.

k   .
.

 k   và x  16  k 4  k   .
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn

Chọn D

k

x 
2x   6x  k 2




8 2 .
2
cos  2 x    cos 6 x  

2

x   k
 2 x   6 x  k 2


2
16 4
x

3
4
Câu 15. Nghiệm của phương trình    là
9
2

B. x   2 .

A. x  2 .

C. x  2 .
D. x  2 .
Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn

Chọn A
x

x

3
3 3
4
      
9
2
2 2

2

 x  2 .

Câu 16. Nghiệm của phương trình 2x x  4 là
A. x  1 và x  2 .
B. x  0 và x  1 .
2

C. x  1 và x  2 .

D. x  0 và x  2 .

Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A
Trang 13

2x

2

x

 4  2x

2

x

 x  1
 22  x 2  x  2  0  
.
x  2

Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình 5x
A. 3 .
B. log 5 10 .

2

3 x

 10 là
C. 3 .

D.  log 5 10 .

Lời giải
GVSB: Trần Vân; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn C
5x

2

3 x

 10  x 2  3x  log 5 10  x 2  3x  log 5 10  0 .

b
Phương trình có hai nghiệm trái dấu và x1  x2    3 .
a
 1 
Câu 18. Nghiệm của phương trình  
 25 
A. x  3 .
B. x  5 .

3 2 x

 5x 3 là

C. x  5 .

D. x  3 .

Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB:Bùi Thanh Sơn
Chọn D
 1 
 
 25 

3 2 x

2 3 2 x
 5x  3  5    5x  3  4 x  6  x  3  x  3 .





1
là
3
B. x   10 .
C. x  2 .
D. x  10 .
Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn

Câu 19. Nghiệm của phương trình log 27 x2  1 
A. x  2 .

Chọn A





log 27 x2  1 

1
 x2  1  3  x2  4  x  2 .
3





Câu 20. Tích các nghiệm của phương trình log 2 x 2  2 x  3 là
A. 8 .

C. 8 .

B. 6 .

D. 6 .

Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn C

 x  2
log 2 x 2  2x  3  x 2  2x  8  x 2  2x  8  0  
.
x  4
Vậy tích các nghiệm của phương trình là 8 .









Câu 21. Số nghiệm của phương trình log 7 x 2  2 x  log 7  3x  6  là
A. 2 .

B. 0 .

C. 3 .

D. 1 .

Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn D

Trang 14

x  2



3x  6  0
x  2
  x  2  x  3 .
log 7 x  2x  log 7  3x  6    2
 2


 x  3
 x  2x  3x  6
 x  5x  6  0






2

Câu 22. Nghiệm của bất phương trình  0, 5  3 là
x

A. x  log 0 ,5 3 .

C. x  log 3 0 , 5 .

B. x  log 0 ,5 3 .

D. x  log 3 0 , 5 .

Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn B

 0, 5 

x

 3  x  log 0 ,5 3 .

Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình  0 , 2   1 là
x2

A.  .

C.  0;   .

\0 .

B.

D.

.

Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A

 0, 2   1   0, 2    0, 2   x2  0  x  .
x2

x2

0



Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình 2  3
A.  2;   .

B.  4;   .



2 x 1



 2 3



x 5

là

C.  ; 2  .

D.  ; 4  .

Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A

2  3

2 x 1



 2 3



x 5



 2 3



2 x 1



 2 3



x 5

 2 x  1  x  5  x  2 .

Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình log 1  2x  6   2 là
A.  3; 5 .

B.  ; 5 .

2

C.  3;   .

D.  5;   .

Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn D
2

1
log 1  2x  6   2  2x  6     2x  6  4  x  5 .
2
2

Câu 26. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log5  2x  3  log 25 x2 là
A. 1 .

B. 2 .

C. 0 .

D. Vô số.

Lời giải
GVSB: Hồng Hà Nguyễn; GVPB: Bùi Thanh Sơn
Chọn A
ĐKXĐ : x 

3
.
2
Trang 15

log5  2x  3  log 25 x2  log5  2x  3  log5 x .
3
bpt 2x  3  x  x  3 .
2
3
Kết hợp với ĐKXĐ suy ra  x  3 .
2
Nghiệm nguyên của bất phương trình là x  2 .
Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai
Với x 





Câu 27. [MĐ2] Cho phương trình cos 2   x   sin 2  3x   .
4
2





1  cos  6x  
1  cos   2x 
2

a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình
.

2
2
b) Ta có cos   2x   cos 2x .

c) Phương trình đã cho đưa về dạng cos 2x  cos 6x .
k
d) Nghiệm của phương trình đã cho là x 
,k   .
4
Lời giải
GVSB: Dương Thị Thanh Tâm; GVPB: Hien Nguyen


1  cos  6x  
1

cos

2
x






2

a) Ta có cos 2   x   sin 2  3x   
.
4
2
2
2


Chọn ĐÚNG.

b) Ta có cos   2x    cos 2x .
Chọn SAI.


1  cos  6x  
1  cos   2x 




2

c) cos 2   x   sin 2  3x   

4
2
2
2








 cos   2 x    cos  6 x     cos 2 x   cos  6 x    cos 2 x  cos  6 x   .
2
2
2




Chọn SAI.
1  cos   2x 



1  cos  6x  
2


2





d) cos 2   x   sin 2  3x   
4
2
2








 cos   2 x    cos  6 x     cos 2 x   cos  6 x    cos 2 x  cos  6 x  
2
2
2




k


x   8  2
 2x  2  6x  k 2
 4x  2  k 2



,k
.
k
x   
 2x    6x  k 2
8x    k 2



2
2
16 4

Chọn SAI.

Trang 16



Câu 28. [MĐ2] Cho phương trình cos 2 x  sin   x  với x  0;  .
4



a) Ta có cos 2 x  sin   2 x  .
2





b) Phương trình sin   2 x   sin   x  có các nghiệm là
2

4

5
x   k 2 và x 
 k2  k   .
4
4
c) Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn 0;  .

d) Tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn 0;  là

5
.
6

Lời giải
GVSB: Dương Thị Thanh Tâm; GVPB: Hien Nguyen


a) Ta có cos 2 x  sin   2 x  .
2

Chọn ĐÚNG.


  2x  4  x  k 2






b) Ta có cos 2 x  sin   x   sin   2 x   sin   x    2
4

2

4

  2x    x  k 2
 2
4



x  4  k2
x  4  2  k2
x   4  k2



.
x    k2
 3x     k 2
 3x   k 2



12
3
4 2
4
Chọn SAI.

c) Ta có x  0;   0  x 
TH1: x 

4

 k2

0

4

 k2 



4

 k2  

Từ đó ta có x 

1
3
   k  , k
4
8
8

nên k  0 .

.
4
k2
k2
k2
1
13
TH2: x   
nên
0 
  
 
  k  , k
12
3
12
3
12
3
12
8
8
2
7
.
x
k  1. Từ đó ta có x   
12 3
12
Chọn ĐÚNG.
7
10
5
d) Tổng các nghiệm là 
.


4 12 12
6
Chọn ĐÚNG.
Câu 29. [MĐ2] Cho phương trình sin 4x  sin 2x  cos 4x  cos 2x .
a) Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, vế trái của phương trình đưa về dạng:
sin 3x cos x .
b) Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, vế phải của phương trình đưa về dạng:
cos 3x cos x .
Trang 17

c) Nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của phương trình cos x ...